Menghitung Data Ephemeris Bulan dengan Algoritma Jean Meeus

Untuk menghitung posisi bulan secara akurat, dibutuhkan ratusan atau bahkan ribuan koreksi (periodic terms) pada bujur astronomi , lintang dan jarak Bumi-Bulan, seperti yang ada ELP-2000/82 Lunar Theories. Namun, kita dapat menghitung posisi bulan dengan cukup akurat menggunakan algoritma Jean Meeus yang merupakan reduksi dari ELP-2000/82 Lunar Theories, yaitu menggunakan suku koreksi bulan yang terpenting yang ada di ELP 2000/82. Algoritma Jean Meeus mempunyai keakurasian 10 detik pada bujur astronomi bulan dan 4 detik pada lintang astronomi bulan.

Algoritma Jean Meeus pada Buku Astronomical Algorithms Chapter 45: Position of the Moon, menggunakan kerangka acuan geosentrik (pusat bumi). Maksudnya adalah posisi bulan tersebut diukur dari titik pusat bumi sampai dengan titik pusat bulan pada sistem referensi mean equinox.

# Langkah-langkah perhitungan

Contoh: menghitung posisi Bulan pada tanggal 27 Februari 2013 jam 10 WIB

1. Menghitung Julian Day (Chapter 7)

            Sebelum masuk ke rumus Julian Day, Tanggalnya harus dirubah ke sistem Julian dan Jamnya harus dirubah ke UT atau GMT.

10:00:00 WIB  = 3:00:00 GMT

• Jika bulan > 2, maka M = bulan Y = Tahun
• Jika bulan = 1 atau 2, maka M = bulan + 12 Y = Tahun - 1

Maka M = 14, dan Y = 2012

A = INT(Y/100)

    = 20

B = 2 – A + INT (A/4)

    = -13

JD = INT(365,25*(Y+4716)) + INT(30,6001*(M+1)) + TGL+(Jam + Menit/60 +Detik/3600)/24 – 1524,5

JD   = 2456350,625

2. Menghitung ∆T (Chapter 9)

Rumus mencari ∆T bisa kita dapatkan dengan cara extrapolasi tabel ∆T yang ada di buku Astronomical Algorithms atau bisa juga menggunakan polynomial ∆T yang ada di website NASA yang merupakan rumus yang dibuat oleh Jean Meeus dan Fred Espenak.
untuk tahun 2006-2050 rumusnya:

Tahun (Desimal) = Tahun + (bulan-1)/12 + tanggal/365

Tahun              = 2013,2

∆T                   = 62,92 + 0,32217*(Tahun-2000) + 0,005589*(Tahun-2000)^2

                        = 68,1 detik

                        = 0,000789 hari

3. Menghitung Julian Day Ephemeris dan T (Chapter 9)

JDE    = JD + ∆T

           = 2456350,625789 hari

T (TD) = (JDE – 2452545,0) / 36525

            =  0,13157086347709  

4. Menghitung Bujur rata-rata Bulan (Moon’s mean longitude, Chapter 45)

Rumus yang digunakan di bawah ini menggunakan referensi mean equinoz pada tanggal tersebut dan sudah menggunakan koreksi the effect of light-time (kecepatan cahaya).

L’        = 218,3164591 + 481267,88134236 * T - 0,0013268*T^2 + T^3/538841

  – T^4/65194000

= 63539,14721 derajat

Karena hasilnya adalah derajat, maka rubah nilainya menjadi antara 0-360. Caranya dengan menggunakan fungsi atau methode “modifier”.

            = 179,147148 derajat

Jika menggunakan pemrograman, jangan lupa untuk merubahnya menjadi format “radians”.

            = 2,740719 radians

5. Menghitung Elongasi rata-rata Bulan (mean elongation of the Moon, Chapter 45)

D         = 297,8502042 + 445267,1115168*T - 0,00163*T^2 + T^3/545868

  – T^4/113065000

= 58882,02852 derajat

= 202,028516 derajat

= 3,526063 radians

6. Menghitung Anomali rata-rata Matahari (Sun’s mean Anomaly, Chapter 45)

M         = 357,5291092 + 35999,0502909*T - 0,0001536*T^2 + T^3/24490000

            = 5093,955238 derajat

            = 53,955238 derajat

            = 0,941697 radians

7. Eksentrisitas orbit Bumi

E          = 1 - 0,002516*T - 0,0000074*T^2

            = 0,999669

8. Menghitung Anomali rata-rata Bulan (moon’s mean Anomaly, Chapter 45)

M’       = 134,9634114 + 477198,8676313*T + 0,008997*T^2 + T^3/69699

   – T^4/14712000

= 62920,43063 derajat

= 280,430632 derajat

= 4,894438  radians

9. Menghitung Argumen Bujur Bulan (yaitu jarak rata-rata Bulan yang dihitung dari titik perpotongan lintasan bulan dengan ekliptika)

F          = 93,2720993 + 483202,0175273*T - 0,0034029*T^2 – T^3/3526000

  + T^4/863310000

= 63284,92756 derajat

= 308,578720 derajat

= 5,385715 radians

10. Mneghitung 3 argumen tambahan untuk koreksi

A1       = 119,75 + 131,849*T

            = 137,097487 derajat

            = 2,392803 radians

A2       = 53,09 + 479264,29*T

            = 110,306469 derajat

            = 1,925211 radians

A3       = 313,45 + 481266,484*T

            = 274,096862 derajat

            = 4,783893 radians

11. Menghitung koreksi periodik (periodic terms) untuk bujur astronomi bulan

            Koreksi bujur astronomi bulan tersedia pada tabel 45.A pada Chapter 45. Nilai koreksi untuk bujur bulan dapat kita dapatkan setelah menjumlahkan semua koreksi pada tabel tersebut yang berjumlah 59 koreksi.

Arguments Multiple of				Ʃl Coefficient of the sine of the arguments
D	M	M'	F
0	0	1	0	6288774
2	0	-1	0	1274027
2	0	0	0	658314
0	0	2	0	213618
0	1	0	0	-185116
0	0	0	2	-114332
2	0	-2	0	58793
2	-1	-1	0	57066
2	0	1	0	53322
2	-1	0	0	45758
0	1	-1	0	-40923
1	0	0	0	-34720
0	1	1	0	-30383
2	0	0	-2	15327
0	0	1	2	-12528
0	0	1	-2	10980
4	0	-1	0	10675
0	0	3	0	10034
4	0	-2	0	8548
2	1	-1	0	-7888
2	1	0	0	-6766
1	0	-1	0	-5163
1	1	0	0	4987
2	-1	1	0	4036
2	0	2	0	3994
4	0	0	0	3861
2	0	-3	0	3665
0	1	-2	0	-2689
2	0	-1	2	-2602
2	-1	-2	0	2390
1	0	1	0	-2348
2	-2	0	0	2236
0	1	2	0	-2120
0	2	0	0	-2069
2	-2	-1	0	2048
2	0	1	-2	-1773
2	0	0	2	-1595
4	-1	-1	0	1215
0	0	2	2	-1110
3	0	-1	0	-892
2	1	1	0	-810
4	-1	-2	0	759
0	2	-1	0	-713
2	2	-1	0	-700
2	1	-2	0	691
2	-1	0	-2	596
4	0	1	0	549
0	0	4	0	537
4	-1	0	0	520
1	0	-2	0	-487
2	1	0	-2	-399
0	0	2	-2	-381
1	1	1	0	351
3	0	-2	0	-340
4	0	-3	0	330
2	-1	2	0	327
0	2	1	0	-323
1	1	-1	0	299
2	0	3	0	294

Cara menggunakan tabel di atas adalah dengan format:

Coefficient * Sin (Multiple Arguments)

Baris pertama              =  6288774* Sin (M’)

= -6184850,879760  

Baris kedua                 = 1274027 * Sin (2 * D  – M’)

                                    = 1060839,171310

# Catatan:

Koreksi periodik pada tabel ini menggunakan nilai M (anomali rata-rata Matahari) yang bergantung pada eksentrisitas orbit Bumi mengelilingi Matahari, yang nilainya terus mengecil seiring berjalannya waktu. Maka Jika tabel M tidak bernilai 0 (bernilai > 0 atau < 0), seperti pada baris kelima, maka rumus yang digunakan menjadi:

Coefficient * E* Sin (Multiple Arguments)

Baris kelima                = -185116 * 0,999669 * Sin(M)

                                    = -149627,370552  

Silahkan lanjutkan sendiri sampai akhir. Setelah itu jumlahkan semuanya. Maka hasilnya:

Ʃ l        = -4792198,3

Untuk mendapatkan hasil koreksi bujur bulan, tambahkan hasil penjumlahan suku-suku koreksi di atas dengan rumus:

3958 * Sin (A1) + 1962 * SIN (L’-F) + 318 * Sin (A2)

Kemudian \hasilnya dibagi dengan 1 000 000. Jadi, singkatnya untuk menghitung koreksi bujur bulan dengan rumus:

Koreksi Bujur Bulan   = ( Ʃ l + 3958 * Sin (A1) + 1962 * SIN (L’-F) + 318 * Sin (A2))

  / 1 000 000

= -4,79072106  

12. Menghitung koreksi periodik (periodic terms) untuk lintang astronomi bulan

            Koreksi bujur astronomi bulan tersedia pada tabel 45.B pada Chapter 45. Nilai koreksi untuk lintang bulan dapat kita dapatkan setelah menjumlahkan semua koreksi pada tabel tersebut yang berjumlah 60 suku koreksi periodik.

Argument Multiple of				Ʃb Coefficient of the sine of the arguments
D	M	M'	F
0	0	0	1	5128122
0	0	1	1	280602
0	0	1	-1	277693
2	0	0	-1	173237
2	0	-1	1	55413
2	0	-1	-1	46271
2	0	0	1	32573
0	0	2	1	17198
2	0	1	-1	9266
0	0	2	-1	8822
2	-1	0	-1	8216
2	0	-2	-1	4324
2	0	1	1	4200
2	1	0	-1	-3359
2	-1	-1	1	2463
2	-1	0	1	2211
2	-1	-1	-1	2065
0	1	-1	-1	-1870
4	0	-1	-1	1828
0	1	0	1	-1794
0	0	0	3	-1749
0	1	-1	1	-1565
1	0	0	1	-1491
0	1	1	1	-1475
0	1	1	-1	-1410
0	1	0	-1	-1344
1	0	0	-1	-1335
0	0	3	1	1107
4	0	0	-1	1021
4	0	-1	1	833
0	0	1	-3	777
4	0	-2	1	671
2	0	0	-3	607
2	0	2	-1	596
2	-1	1	-1	491
2	0	-2	1	-451
0	0	3	-1	439
2	0	2	1	422
2	0	-3	-1	421
2	1	-1	1	-366
2	1	0	1	-351
4	0	0	1	331
2	-1	1	1	315
2	-2	0	-1	302
0	0	1	3	-283
2	1	1	-1	-229
1	1	0	-1	223
1	1	0	1	223
0	1	-2	-1	-220
2	1	-1	-1	-220
1	0	1	1	-185
2	-1	-2	-1	181
0	1	2	1	-177
4	0	-2	-1	176
4	-1	-1	-1	166
1	0	1	-1	-164
4	0	1	-1	132
1	0	-1	-1	-119
4	-1	0	-1	115
2	-2	0	1	107

Cara menggunakan tabel di atas dengan format:

Coefficient * Sin (Multiple Arguments)

Baris pertama              =  5128122* Sin (F)

= -4008920,284097

Baris kedua                 = 280602 * Sin (M’ + F)

                                    = -211803,062950

# Catatan:

Koreksi periodik pada tabel ini juga menggunakan nilai M (anomali rata-rata Matahari) yang bergantung pada eksentrisitas orbit Bumi mengelilingi Matahari, yang nilainya terus mengecil seiring berjalannya waktu. Maka Jika tabel M tidak bernilai 0 (bernilai > 0 atau < 0), seperti pada baris kesebelas, maka rumus yang digunakan menjadi:

Coefficient * E* Sin (Multiple Arguments)

Baris kesebelas            = 8216 * 0,999669 * Sin(2*D –M -F)

                                    = 5444,760320

Silahkan lanjutkan sendiri sampai akhir. Setelah itu jumlahkan semuanya. Maka hasilnya:

Ʃ b       = -4129137,521

Untuk mendapatkan hasil koreksi lintang bulan, tambahkan hasil penjumlahan suku-suku koreksi di atas dengan rumus:

- 2235 * Sin (L’) + 382 * Sin (A3) + 175* Sin (A1 - F) + 175 * Sin (A1 + F)

 + 127 * Sin (L’ – M’) - 115*Sin (L’ + M’)

Kemudian hasilnya dibagi dengan 1 000 000. Jadi, singkatnya untuk menghitung koreksi lintang bulan dengan rumus:

Koreksi lintang Bulan = ( Ʃ l - 2235 * Sin (L’) + 382 * Sin (A3)

  + 175* Sin (A1 - F) + 175 * Sin (A1 + F) + 127 * Sin (L’ – M’)

  - 115*Sin (L’ + M’)) / 1 000 000

= -4,129641  

13. Menghitung koreksi periodik (periodic terms) untuk Jarak Bumi-Bulan

            Koreksi Jarak Bumi-Bulan tersedia pada tabel 45.A pada Chapter 45. Nilai koreksi untuk Jarak Bumi-Bulan dapat kita dapatkan setelah menjumlahkan semua koreksi pada tabel tersebut yang berjumlah 46 suku koreksi periodik.

Argumen Multiple of				Ʃr Coefficient of the Cosine of the argument
D	M	M'	F
0	0	1	0	-20905355
2	0	-1	0	-3699111
2	0	0	0	-2955968
0	0	2	0	-569925
2	0	-2	0	246158
2	-1	0	0	-204586
2	0	1	0	-170733
2	-1	-1	0	-152138
0	1	-1	0	-129620
1	0	0	0	108743
0	1	1	0	104755
0	0	1	-2	79661
0	1	0	0	48888
4	0	-1	0	-34782
2	1	0	0	30824
2	1	-1	0	24208
0	0	3	0	-23210
4	0	-2	0	-21636
1	1	0	0	-16675
2	0	-3	0	14403
2	-1	1	0	-12831
4	0	0	0	-11650
2	0	2	0	-10445
2	0	0	-2	10321
2	-1	-2	0	10056
2	-2	0	0	-9884
2	0	-1	-2	8752
1	0	-1	0	-8379
0	1	-2	0	-7003
1	0	1	0	6322
0	1	2	0	5751
2	-2	-1	0	-4950
0	0	2	-2	-4421
2	0	1	-2	4130
4	-1	-1	0	-3958
3	0	-1	0	3258
0	0	0	2	-3149
2	1	1	0	2616
2	2	-1	0	2354
0	2	-1	0	-2117
4	-1	-2	0	-1897
1	0	-2	0	-1739
4	-1	0	0	-1571
4	0	1	0	-1423
0	2	1	0	1165
0	0	4	0	-1117

Cara menggunakan tabel di atas dengan format:

Coefficient * Cos (Multiple Arguments)

Baris pertama              =  -20905355* Cos (M’)

= -3784809,173097  

Baris kedua                 = -3699111 * Cos (2* D – M’)

                                    = 2048476,240839  

# Catatan:

Koreksi periodik pada tabel ini juga menggunakan nilai M (anomali rata-rata Matahari) yang bergantung pada eksentrisitas orbit Bumi mengelilingi Matahari, yang nilainya terus mengecil seiring berjalannya waktu. Maka Jika tabel M tidak bernilai 0 (bernilai > 0 atau < 0), seperti pada baris keenam, maka rumus yang digunakan menjadi:

Coefficient * E* Cos (Multiple Arguments)

Baris keenam               = -204586 * 0,999669 * Cos (2*D –M )

                                    = -201473,936010  

Silahkan lanjutkan sendiri sampai akhir. Setelah itu jumlahkan semuanya. Maka hasilnya:

Ʃ r        = -3754062,845369 m

Karena koefisien yang ada pada tabel ini menggunakan satuan meter, hasil Ʃ r dibagi dengan 1 000. Maka koreksi untuk jarak Bumi-Bulan:

Koreksi Jarak Bulan = Ʃ r / 1 000

= -3754,06284537 km

14. Menghitung True Longitude, Latitude and true geocentric distance of the Moon

            Setelah kita menghitung koreksi masing-masing dari bujur, lintang dan jarak bulan, selanjutnya kita menghitung bujur, lintang dan jarak bulan yang sebenarnya.

True Longitude           = L’ (formatnya derajat) + Koreksi bujur bulan

                                    = 179,147148 + -4,79072106

                                    = 174,356427 derajat

Apparent latitude (β)  = Koreksi lintang bulan

                                    = -4,129641 derajat

                                    = -4^o 7’ 46,71”

TGD                            = 385000,56 + koreksi jarak bulan

                                    = 381246,50 km

15. Menghitung Nutasi (Chapter 21)

            Perhitungan nutasi ini diperlukan untuk merubah true longitude bulan menjadi apparent longitude bulan. Sebelum menghitung koreksi nutasi (∆ψ), ada beberapa multiple argument yang perlu dihitung. Multiple arguments UNTUK perhitungan nutasi dirumuskan oleh International Astronomical union yang sedikit berbeda dengan yang digunakan oleh ELP 2000/82 Lunar theories yang sudah kita hitung di atas:

a) D     = 297,85036 + 445267,11148*T - 0,0019142*T² + T³/189474

= 202,0286622 derajat

= 3,52606533960301 radians

b) M_o   = 357,52772 + 35999,05034*T - 0,0001603*T² - T³/300000

= 53,95385481 derajat

= 0,94167241051335 radians

c) M^c = 134,96298 + 477198,867398*T + 0,0086972*T² + T³/56250

= 280,4301644 derajat

= 4,89442969136369  radians

d) F     = 93,27191 + 483202,017538*T - 0,0036825*T² + T³/327270

= 308,5785276 derajat

= 5,38571130764380  radians

e) Ω^c     = 125,04452 - 1934,136261*T + 0,0020708*T² + T³/450000

= 230,5685779 derajat

= 4,024180836176600 radians

Tabel 21.A

Periodic Terms for the nutation in longitude (∆ψ). The unit is 0,0001 second

Argument Multiple of					∆ψ Coefficient of the Sine of the Argument
D	Mo	Mc	F	Ωc
0	0	0	0	1	-171996	-174,2
-2	0	0	2	2	-13187	-1,6
0	0	0	2	2	-2274	-0,2
0	0	0	0	2	2062	0,2
0	1	0	0	0	1426	-3,4
0	0	1	0	0	712	0,1
-2	1	0	2	2	-517	1,2
0	0	0	2	1	-386	-0,4
-2	-1	0	2	2	217	-0,5
-2	0	0	2	1	129	0,1
0	0	1	0	1	63	0,1
0	0	-1	0	1	-58	-0,1
0	2	0	0	0	17	-0,1
-2	2	0	2	2	-16	0,1
0	0	1	2	2	-301	0
-2	0	1	0	0	-158	0
0	0	-1	2	2	123	0
2	0	0	0	0	63	0
2	0	-1	2	2	-59	0
0	0	1	2	1	-51	0
-2	0	2	0	0	48	0
0	0	-2	2	1	46	0
2	0	0	2	2	-38	0
0	0	2	2	2	-31	0
0	0	2	0	0	29	0
-2	0	1	2	2	29	0
0	0	0	2	0	26	0
-2	0	0	2	0	-22	0
0	0	-1	2	1	21	0
2	0	-1	0	1	16	0
0	1	0	0	1	-15	0
-2	0	1	0	1	-13	0
0	-1	0	0	1	-12	0
0	0	2	-2	0	11	0
2	0	-1	2	1	-10	0
2	0	1	2	2	-8	0
0	1	0	2	2	7	0
-2	1	1	0	0	-7	0
0	-1	0	2	2	-7	0
2	0	0	2	1	-7	0
2	0	1	0	0	6	0
-2	0	2	2	2	6	0
-2	0	1	2	1	6	0
2	0	-2	0	1	-6	0
2	0	0	0	1	-6	0
0	-1	1	0	0	5	0
-2	-1	0	2	1	-5	0
-2	0	0	0	1	-5	0
0	0	2	2	1	-5	0
-2	0	2	0	1	4	0
-2	1	0	2	1	4	0
0	0	1	-2	0	4	0
-1	0	1	0	0	-4	0
-2	1	0	0	0	-4	0
1	0	0	0	0	-4	0
0	0	1	2	0	3	0
0	0	-2	2	2	-3	0
-1	-1	1	0	0	-3	0
0	1	1	0	0	-3	0
0	-1	1	2	2	-3	0
2	-1	-1	2	2	-3	0
0	0	3	2	2	-3	0
2	-1	0	2	2	-3	0

Cara menggunakan tabel di atas untuk menghitung ∆ψ adalah dengan format:

(Coefficient1 + Coefficient2 * T) * Sin (Multiple Arguments)

Baris pertama    = (-171996 + -174,2 *T) * Sin (Ω^c)

                        = 132864,895019111

Silahkan lanjutkan sendiri sampai akhir. Setelah itu jumlahkan semuanya. Harus diingat, bahwa hasil koreksi dengan tabel ini menggunakan format 0,0001 detik, maka setelah semua koreksi dijumlahkan dibagi 10000, maka akan ketemu:

∆ψ       = koreksi/10000/ 3600

            = 0,004024837 derajat

16. Menghitung Apparent Longitude Bulan ( λ )

Apparent Longitude               = True Longitude + ∆ψ

                                                = 174,356427 + 0,004024837

                                                = 174,360452 derajat

                                                = 174^o 21' 37,63''

17. Menghitung True obliquity (Chapter 21)

            Untuk mendapatkan hasil true obliquity, diperlukan nilai mean obliquity (ε_o) dan koreksi obliquity (∆ε). Rumus untuk menghitung mean obliquity dalam buku Astronomical Algorithms merupakan rumus yang diambil dari buku Astronomy and Astrophysics karangan J. Laskar:

U         = T / 100

            = 0,001315708635

ε_o            = 23^o 26’ 21,448” – 4680,93 * U – 1,55 * U² +1999,25 * U³ -51,38 * U⁴

  -249,67 * U⁵ -39,05 * U⁶ +7,12 * U⁷ +27,87 * U⁸ +5,79 * U⁹ +2,45 * U¹⁰

= 23,437580  derajat

Kemudian, kita menghitung koreksi obliquity (ε_o) dengan menjumlahkan suku koreksi periodik yang terdapat dalam di bawah ini: (untuk multiple arguments: D, M_o, M_c, F dan Ω^c yang digunakan sama dengan yang digunakan untuk menghitung nutasi in longitude).

Tabel 21.A

Periodic Terms for the nutation in obliquity (ε_o). The unit is 0,0001 second

Argument multiple of					∆ε Coeffisient of the cosine of the Arguments
D	Mo	Mc	F	Ωc
0	0	0	0	1	92025	8,9
-2	0	0	2	2	5736	-3,1
0	0	0	2	2	977	-0,5
0	0	0	0	2	-895	0,5
0	1	0	0	0	54	-0,1
-2	1	0	2	2	224	-0,6
0	0	1	2	2	129	-0,1
-2	-1	0	2	2	-95	0,3
0	0	1	0	0	-7	0
0	0	0	2	1	200	0
-2	0	0	2	1	-70	0
0	0	-1	2	2	-53	0
0	0	1	0	1	-33	0
2	0	-1	2	2	26	0
0	0	-1	0	1	32	0
0	0	1	2	1	27	0
0	0	-2	2	1	-24	0
2	0	0	2	2	16	0
0	0	2	2	2	13	0
-2	0	1	2	2	-12	0
0	0	-1	2	1	-10	0
2	0	-1	0	1	-8	0
-2	2	0	2	2	7	0
0	1	0	0	1	9	0
-2	0	1	0	1	7	0
0	-1	0	0	1	6	0
2	0	-1	2	1	5	0
2	0	1	2	2	3	0
0	1	0	2	2	-3	0
0	-1	0	2	2	3	0
2	0	0	2	1	3	0
-2	0	2	2	2	-3	0
-2	0	1	2	1	-3	0
2	0	-2	0	1	3	0
2	0	0	0	1	3	0
-2	-1	0	2	1	3	0
-2	0	0	0	1	3	0
0	0	2	2	1	3	0

Cara menggunakan tabel di atas untuk menghitung ∆ψ adalah dengan format:

(Coefficient1 + Coefficient2 * T) * Cos (Multiple Arguments)

Baris pertama    = (92025 + 8,9 *T) * Cos (Ω^c)

                        = -58450,808957  

Silahkan lanjutkan sendiri sampai akhir. Setelah itu jumlahkan semuanya. Harus diingat, bahwa hasil koreksi dengan tabel ini menggunakan format 0,0001 detik, maka setelah semua koreksi dijumlahkan dibagi 10000, maka akan ketemu:

∆ε        = total koreksi/10000/ 3600

            = -0,001475036 derajat

Kemudian kita hitung true obliquity dengan rumus:

ε          = ε_o + ∆ε

            =  23,437580 + (-0,001475036)

            = 23,436105315008 derajat

18. Menghitung Apparent Right Ascension and Declination of the Moon (Chapter 12)

            Setelah posisi bulan dalam koordinat Ekliptika bulan diketahui (Apparent Longitude dan Latitude), kita bisa mencari posisi bulan dalam sistem koordinat equatorial (Right Ascension dan Declination) dengan rumus-rumus transformation of coordinates pada Chapter 12:

a. Apparent Right Ascension

Tan α  = Sin λ * Cos ε – Tan β *Sin ε

                                    Cos λ

Tan α  = 0,11887916

               -0,9951598

α       = -6,8121218 derajat

Harus diingat bahwa nilai Right Ascension (α) selalu berada pada kuadran yang sama dengan nilai bujur ekliptika. Karena bujur bulan berada pada kuadran antara 90 - 180 (174^o 21' 37,63''), maka nilai α harus dirubah juga menjadi nilai pada kuadran antara 90 -180.

α       = 180 -6,8121218

            = 173,187878

            = 173^o 11' 16,36''

Atau jika ingin lebih simpel, jika kita menggunakan program, kita bisa menggunakan fungsi Atan2. Dengan rumus Atan2, kita tidak perlu repot-repot merubah nilai α menjadi nilai kuadran yang sama dengan bujur bulan. Namun perlu diperhatikan, bahwa penulisan fungsi Atan2 berbeda-beda sesuai bahasa program yang dipakai. Dalam MS Excel, hubungan Atan dengan Atan2:

Atan (Y/X) = Atan2 (X;Y)

Atan ((Sin λ * Cos ε – Tan β *Sin ε) / Cos λ) = Atan2 (Cos λ ; Sin λ * Cos ε – Tan β *Sin ε)

Sedangkan dalam bahasa pemrograman yang lain seperti QBASIC dan JAVA:

Atan (Y/X) = Atan2 (Y,X)

Atan ((Sin λ * Cos ε – Tan β *Sin ε) / Cos λ) = Atan2 (Sin λ * Cos ε – Tan β *Sin ε , Cos λ)

b. Apparent Declination

Sin    = Sin β  * Cos ε  + Cos β  * Sin ε  * Sin λ

            = -1,552312 derajat

            = -1^o 33 '8,32''

19. Menghitung Horizontal Parallaks bulan (Chapter 45)

            Kita sudah menghitung TGD Bulan (True Geocentric Distance) atau jarak sebenarnya Bumi-Bulan. Maka untuk menghitung Horizontal Parallaks bulan, kita dapat menggunakan rumus:

Sin HP_c               = 6378,14 / Jarak Bumi-bulan

HP_c                  = 0,958586 derajat

                        = 0^o 57' 30,91''

20. Menghitung Semi diameter Bulan (Chapter 53)

            Ada beberapa rumus yang bisa digunakan untuk menghitung semi diameter Bulan. Pada Astronomical Ephemeris menggunakan rumus:

Sin Sd_c                                = k * Sin HP_c

Dimana nilai k = 0,272481. Namun perhitungan ini hanya akurat digunakan untuk tahun 1963-1968. Maka untuk menghasilkan nilai semi diameter yang akurat, kita bisa menggunakan rumus:

Sd_c         = 358 473 400 / Jarak Bumi-bulan

            = 0,261185 derajat

            = 0^o 15' 40,27''

21. Menghitung Fraction Ilumination Bulan (Chapter 46)

            Jika kita ingin menghitung Fraction ilumination Bulan, kita memerlukan data Matahari. Karena besar-kecilnya Fraction Ilumination Bulan tergantung dari besar-kecilnya elongasi Bulan (Sudut yang terbentuk dari garis yang menghubungkan Bumi-Matahari dan Bumi-Bulan). Data Matahari yang diperlukan meliputi α_o, _o, R (Deklinasi, Right Ascension Matahari dan Jarak Bumi-Matahari). Perhitungan data Matahari tersebut telah kita bahas di postingan terdahulu mengenai Perhitungan Data Matahari menggunakan Algoritma jean Meeus High Accuracy.

            Data Matahari pada tanggal 27 Februari 2013 adalah:

α_o         = 340◦17'51,19''

_o         = -8◦18'52,49''

R         = 0,990361 AU

            Pertama, hitung dulu sudut elongasi Bulan dengan rumus:

Cos el              = Sin _o * Sin _c + Cos _o * Cos _c * Cos (α_{o ­}– α_c)

el                     = 163,797482 derajat

                        = 163^o 47' 50,94''

            Selanjutnya, kita menghitung phase angle of the Moon. Namun Sebelum menggunakan rumus mencari phase angle, kita harus merubah satuan R (Jarak Bumi-Matahari) menjadi satuan Kilometer agar sama dengan satuan TGD bulan.

1 AU               = 149 597 871 km

R                     = 0,990361 * 149 597 871

                        = 148155878,492669 km

            Kemudian hitung phase angle (i) dengan rumus:

Tan i                = (R * Sin el) / (TGD bulan – R * Cos el)

i                       = 16,16147919 derajat

yang terakhir, kita menghitung Fraction Ilumination Bulan dengan rumus:

FIB                  = (1 + cos i) /2

                        = 0,98024052

Kesimpulan:

Data Ephemeris Bulan pada tanggal 27 Februari 2013 jam 10 WIB adalah

Apparent Longitude               = 174^o 21' 37,63''

Apparent Latitude                  = -4^o 7’ 46,71”

Apparent Right Ascension      = 173^o 11' 16,36''

Apparent Declination              = -1^o 33 '8,32''

TGD Bulan                             = 381246,50 km

Horizontal Parralax                 = 0^o 57' 30,91''

Semi diameter                         = 0^o 15' 40,27''

Fraction Ilumination               = 0,98024052