Menghitung Data Ephemeris Matahari dengan Algoritma Jean Meeus (High Accuracy)

            Setelah pada postingan sebelumnya kita telah mencoba menghitung data ephemeris Matahari dengan low accuracy, sekarang penulis akan melanjutkan dengan perhitungan data ephemeris Matahari dengan menggunakan Algoritma Jean Meeus high accuracy pada buku Astronomical Algorithms Chapter 24, Solar Coordinates.

            Perhitungan data ephemeris Matahari high accuracy dg akurasi lebih tinggi dari 0,01 detik busur bisa kita dapatkan dengan menggunakan VSOP87 Theory, dengan total jumlah koreksi sebanyak 2425 buah. 1080 koreksi untuk bujur ekliptika, 348 koreksi untuk lintang ekliptika dan 997 koreksi untuk jarak Matahari ke Bumi. (ada yang mau nyoba? ^_^). Sedangkan koreksi pada perhitungan high accuracy dengan Algoritma Jean Meeus sebenarnya merupakan reduksi dari VSOP87 theory dengan mengambil koreksi-koreksi yang penting. Total koreksi pada Algoritma Jean Meeus sebanyak 159 koreksi, dengan kesalahan tidak lebih dari 1 detik untuk periode tahun -2000 sampai 6000 (keren..^_^).

Seperti biasanya, buku ini cukup membingungkan. Karena tidak semua cara perhitungannya tersedia di chapter tersebut. Kita harus buka bolak-balik beberapa chapter sebelum dan sesudahnya, seperti Chapter 21, Chapter 53, Chapter 11 and nyampe harus buka-buka juga bagian Appendix II di akhir buku.dll.. But, don’t worry, di sini rumus-rumus yang tersebar di Chapter-Chapter tersebut sudah penulis kumpulkan di sini.^_^

            Pada postingan ini, kita akan mencoba dulu menghitung data ephemeris Matahari high accuracy.

1. Menghitung data ephemeris Matahari High Accuracy

            Perhitungan dengan metode ini sebenarnya langkah-langkahnya cukup simple. Pertama kita buka tabel koreksi pada Appendix II di bagian akhir buku. Kemudian cara menggunakan koreksi tabel tersebut menggunakan rumus yang ada pada Chapter 31. Tapi sebelumnya harus menghitung Julian Day UT dan JDE pada Chapter 7 dan 9. Setelah itu menghitung koreksi nutasi, dan true obliquity pada Chapter 21, kemudian menghitung koreksi Aberasi dan mengubah bujur dan lintang geosentrik Matahari menjadi Apparent pada Chapter 24 dll..(simple tapi mumetin..>,<)

            Agar lebih mudah dalam memahami perhitungannya, mari kita coba dengan contoh.

# Menghitung Data Ephemeris Matahari

Tanggal 13 Agustus 2012

Jam = 8 : 00 : 00 WIB

A. Menghitung Julian Day (Chapter 7)

            Sebelum masuk ke rumus Julian Day, Tanggal dan Jamnya harus dirubah ke UT atau GMT

8:00:00 WIB  = 1:00:00 GMT

• Jika bulan > 2, maka M = bulan Y = Tahun
• Jika bulan = 1 atau 2, maka M = bulan + 12 Y = Tahun - 1

Maka M = 8, dan Y = 2012

A = INT(Y/100)

    = 20

B = 2 – A + INT (A/4)

    = -13

JD = INT(365,25*(Y+4716)) + INT(30,6001*(M+1)) + TGL+(Jam + Menit/60 +Detik/3600)/24 – 1524,5

JD   = 2456152,542

B. Menghitung Julian Day Ephemeris (Chapter 9)

∆T       = -15 + ((JD – 2382148)² / 41048480

            = 118,4196099 detik

            = 0,001370597 hari

JDE    = JD + ∆T

           = 2456152,543

C. Menghitung Periodic Terms pada Appendix II

Pada Appendix II, terdapat tabel-tabel koreksi orbit planet-planet. Tiap data orbit planet-planet tersebut ada 3 macam data, yaitu L untuk bujur heliosentris planet, B untuk lintang heliosentris planet dan R untuk jarak planet ke Matahari. Kita akan menggunakan tabel Earth, karena kita akan menghitung posisi Matahari dari Bumi. Untuk data Bumi, L terbagi menjadi 6 kelompok (L0, L1,L2,L3,L4, dan L5), B terbagi menjadi 2 kelompok (B0 dan B2) dan R terbagi menjadi 5 kelompok (R0, R1,R2,R3,dan R4).

Tapi sebelumnya kita harus menghitung T (TD) dan Ʈ

T (TD) = (JDE – 2452545,0) / 36525

            =  0,126147653

Ʈ         = T / 10

            = 0,012614765           

            Penggunaan tabel ini dengan rumus:

A * Cos(B + C * Ʈ)

            Konstanta B dan C sudah tersaji dalam satuan Radian. Karena banyaknya suku koreksi tersebut, penulis tidak bisa mencantumkannya di sini (gomena sai..^_^). Silahkan download saja bukunya di sini. Setelah itu hitung hasil tiap kelompok koreksi.

L0 = 173280426,012844

L1 = 628332163575,04400

L2 = 54681,695868

L3 = -228,469612

L4 = -114,558419

L5 = -0,999999

Untuk mendapatkan bujur heliosentris Bumi menggunakan rumus:

L = (L0 + L1 * Ʈ+ L2 * Ʈ²+ L3 * Ʈ³+ L4 * Ʈ⁴+ L5 * Ʈ⁵) / 10⁸

L = 80,99543228 radian

    = 320,6964297 derajat

Hasil ini merupakan bujur ekliptika bumi diukur dari matahari. Untuk mendapatkan bujur ekliptika matahari, hasil tersebut ditambahkan 180^o, karena posisi Bumi diukur dari matahari merupakan kebalikan dari posisi Matahari diukur dari Bumi.

 = L + 180

    = 140,6964297 derajat

Setelah itu menghitung koreksi untuk  dengan rumus

^t = 140,6964297^o - 0,09033”

      = 140,6964046 derajat

Hasil ini merupakan true geometric longitude matahari

            Kita beralih ke tabel lintang heliosentris Bumi.

B0 = 278,185050

B1 = -3,434852

Untuk mendapatkan lintang geometrik Matahari menggunakan rumus:

B = (B0 + B1 * Ʈ) / 10⁸

    = 0,00000277752 radian

    = - 0,572904112 detik busur (hasilnya dinegatifkan)

Setelah itu menghitung koreksi B dengan rumus:

λ’  =  - 1,397 * T - 0,00031 *T²

      = 140,6964297

∆B = 0,03916 * (COS λ’ - SIN λ’)

       = -0,05510712

ß    = B + ∆B

      = - 0,628011232

           

            Kita beralih ke tabel R jarak Bumi ke Matahari

R0 = 101315461,658812

R1 = 24042,735918

R2 = -4186,696492

R3 = -35,897081

R4 = 3,961878

Maka true geocentric distance bisa diketahui dengan rumus:

R = (R0 + R1 * Ʈ+ R2 * Ʈ²+ R3 * Ʈ³+ R4 * Ʈ⁴) / 10⁸

    = 1,013157643

D. Menghitung Nutasi dan True Obliquity

Pertama menghitung mean obliquity dengan rumus:

U = T/100

     = 0,0012614765

Ε_o = 23^o 26’ 21,448” – 4680,93 * U – 1,55 * U² +1999,25 * U³ -51,38 * U⁴ -249,67 * U⁵

      -39,05 * U⁶ +7,12 * U⁷ +27,87 * U⁸ +5,79 * U⁹ +2,45 * U¹⁰

    = 23,43764402 derajat

Sebelum menghitung True obliquity, kita harus menghitung koreksi ∆ε dengan menggunakan tabel di bawah ini yang merupakan tabel terms of the 1980 IAU Theory of Nutations:

D	M	M'	F	Ω	∆ψ Coefficients of The sine		∆ε Coefficients of The Cosine
0	0	0	0	1	-171996	-174,2	92025	8,9
-2	0	0	2	2	-13187	-1,6	5736	-3,1
0	0	0	2	2	-2274	-0,2	977	-0,5
0	0	0	0	2	2062	0,2	-895	0,5
0	1	0	0	0	1426	-3,4	54	-0,1
0	0	1	0	0	712	0,1	-7	0
-2	1	0	2	2	-517	1,2	224	-0,6
0	0	0	2	1	-386	-0,4	200	0
-2	-1	0	2	2	217	-0,5	129	-0,1
-2	0	0	2	1	129	0,1	-95	0,3
0	0	1	0	1	63	0,1
0	0	-1	0	1	-58	-0,1	-70	0
0	2	0	0	0	17	-0,1	-53	0
-2	2	0	2	2	-16	0,1
0	0	1	2	2	-301	0	-33	0
-2	0	1	0	0	-158	0	26	0
0	0	-1	2	2	123	0	32	0
2	0	0	0	0	63	0	27	0
2	0	-1	2	2	-59	0
0	0	1	2	1	-51	0	-24	0
-2	0	2	0	0	48	0	16	0
0	0	-2	2	1	46	0	13	0
2	0	0	2	2	-38	0
0	0	2	2	2	-31	0	-12	0
0	0	2	0	0	29	0
-2	0	1	2	2	29	0
0	0	0	2	0	26	0	-10	0
-2	0	0	2	0	-22	0
0	0	-1	2	1	21	0	-8	0
2	0	-1	0	1	16	0	7	0
0	1	0	0	1	-15	0	9	0
-2	0	1	0	1	-13	0	7	0
0	-1	0	0	1	-12	0	6	0
0	0	2	-2	0	11	0
2	0	-1	2	1	-10	0	5	0
2	0	1	2	2	-8	0	3	0
0	1	0	2	2	7	0	-3	0
-2	1	1	0	0	-7	0
0	-1	0	2	2	-7	0	3	0
2	0	0	2	1	-7	0	3	0
2	0	1	0	0	6	0
-2	0	2	2	2	6	0	-3	0
-2	0	1	2	1	6	0	-3	0
2	0	-2	0	1	-6	0	3	0
2	0	0	0	1	-6	0	3	0
0	-1	1	0	0	5	0
-2	-1	0	2	1	-5	0	3	0
-2	0	0	0	1	-5	0	3	0
0	0	2	2	1	-5	0	3	0
-2	0	2	0	1	4	0
-2	1	0	2	1	4	0
0	0	1	-2	0	4	0
-1	0	1	0	0	-4	0
-2	1	0	0	0	-4	0
1	0	0	0	0	-4	0
0	0	1	2	0	3	0
0	0	-2	2	2	-3	0
-1	-1	1	0	0	-3	0
0	1	1	0	0	-3	0
0	-1	1	2	2	-3	0
2	-1	-1	2	2	-3	0
0	0	3	2	2	-3	0
2	-1	0	2	2	-3	0

Sebelum menghitung ∆ψ dan ∆ε dengan tabel ini, kita menghitung dulu Multiple argumentsnya:

a) D = 297,85036 + 445267,11148*T - 0,0019142*T² + T³/189474

        = 297,85036 + 445267,11148*0,126147653 - 0,0019142 * 0,126147653²

           + 0,126147653³/189474

         = 307,2513936 derajat

b) M_o = 357,52772 + 35999,05034*T - 0,0001603*T² - T³/300000

          = 357,52772 + 35999,05034*0,126147653 - 0,0001603 *0,126147653²

            - 0,126147653³/300000

            = 218,7248225 derajat

c) M^c = 134,96298 + 477198,867398*T + 0,0086972*T² + T³/56250

          = 134,96298 + 477198,867398 *0,126147653 + 0,0086972 *0,126147653²

             + 0,126147653³/56250

           = 212,48087 derajat

d) F = 93,27191 + 483202,017538*T - 0,0036825*T² + T³/327270

        = 93,27191 + 483202,017538 *0,126147653 - 0,0036825 *0,126147653²

          + 0,126147653³/327270

         = 208,0726324 derajat

e) Ω^c = 125,04452 - 1934,136261*T + 0,0020708*T² + T³/450000

         = 125,04452 - 1934,136261*0,126147653 + 0,0020708*0,126147653²

            + 0,126147653³/450000

         = 241,0578024 derajat

Cara menggunakan tabel di atas untuk menghitung ∆ψ adalah dengan format:

Coefficient * Sin (Multiple Arguments)

Baris pertama    = (-171996 + -174,2 *T) * Cos (Ω^c)

                        = 150534,367710

Silahkan lanjutkan sendiri sampai akhir. Setelah itu jumlahkan semuanya. Harus diingat, bahwa hasil koreksi dengan tabel ini menggunakan format 0,0001 detik, maka setelah semua koreksi dijumlahkan dibagi 10000, maka akan ketemu:

∆ψ = koreksi/10000/ 3600

     = 0,004554705 derajat

Cara menggunakan tabel di atas untuk menghitung ∆ε adalah dengan format:

Coefficient * Cos (Multiple Arguments)

Baris pertama    = (92025 + 8,9 *T) * Cos (Ω^c)

                        = -44533,927303

Silahkan lanjutkan sendiri sampai akhir. Setelah itu jumlahkan semuanya. Harus diingat, bahwa hasil koreksi dengan tabel ini menggunakan format 0,0001 detik, maka setelah semua koreksi dijumlahkan dibagi 10000, maka akan ketemu:

∆ε = koreksi/10000/ 3600

     = -0,001219 derajat

Setelah itu menghitung true obliquity dengan rumus:

ε = E_o + ∆ε

   = 23,43764402 - 0,001219

   = 23,436425 derajat

   = 23^o 26’ 11,13”

E. Menghitung koreksi Aberasi

-20,4898” / R

= -0,005617695

F. Menghitung Apparent Longitude Matahari

λ = ^t + ∆ψ + Aberasi

   = 140,6964046 + 0,004554705 - 0,005617695

   = 140,6953416

   = 140^o 41’ 43,23”

G. Menghitung Apparent Right Ascension (α)

            Sebelum menghitung α, ε harus dikoreksi dengan rumus:

+0,00256 * Cos (Ω)

Maka:

E = ε +0,00256 * Cos (Ω)

    = 23,43764402 + 0,00256 * Cos (241,0578024)

    = 23,43518644 derajat

Menghitung α dengan rumus:

Tan α = Cos (E) * Tan (λ)

          = Cos (23,43518644) * Tan (140,6953416)

          = -36,91014921

nilai α harus sama kuadrannya dengan , maka ditambahkan 180

α  = 180 -36,91014921

    = 143, 0898508 derajat

    = 143^o 5’ 23,46”

H. Menghitung Apparent Declination

Sin  = Sin E * Sin λ

        = Sin 23,43518644 * Sin 140,6953416

       = 14,59162074 derajat

         = 14^o 35’ 29,83”

I. Menghitung Equation of Time (Chapter 27)

Ketika Matahari Semu melintasi meridian pengamat, maka pada saat itu terjadi waktu istiwa pertengahan. Waktu istiwa hakiki yaitu ketika Matahari hakiki melintasi meridian. Equation of time adalah perbedaan antara waktu hakiki dan waktu pertengahan. Atau dengan kata lain, equation of time adalah perbedaan antara Sudut waktu matahari hakiki dan semu.

            Sebelum menghitung equation of time, kita harus menghitung dulu rata-rata bujur matahari dengan rumus:

L_o = 280,4664567 + 360007,6982779 *T - 0,03032028 *T ² +T³ /49931

       -T⁴ / 15299 - T⁵ / 1988000           

      = 4821,879083 derajat

      = 141,8790831 derajat

Eq = L_o - 0,0057183 – α + ∆ψ *COS ε

     = -1,212306978 * 4

     = -4,849227911 menit

     = -4 menit 50,95 detik

J. Menghitung Semi Diameter Matahari (Chapter 53)

Sd = 15’ 59,63” / R

     = 15’ 59,63” / 1,013157643

     = 0^o 15’ 47,16”

Kesimpulan:
Data Ephemeris Matahari pada tanggal 13 Agustus 2012 jam 8: 00: 00 WIB

Apparent Longitude       = 140^o 41’ 43,23”

Apparent Lattitude        = -0,628”

True Obliquity                      = 23^o 26’ 11,13”

Apparent Right Ascension    = 143^o 5’ 23,46”

Apparent Declination      = 14^o 35’ 29,83”

Equation of Time                   = -4 menit 50,95 detik

Semi diameter                        = 0^o 15’ 47,16”

True Geocentric Distance      = 1,013157643 AU

Jika hasil tersebut dibandingkan dengan Data Ephemeris Matahari pada WinHisab 2010:

Apparent Longitude       = 140^o 41’ 41,21”

Apparent Lattitude        = -0,63”

True Obliquity                      = 23^o 26’ 11,16”

Apparent Right Ascension    = 143^o 5’ 22,21”

Apparent Declination      = 14^o 35’ 32,58”

Equation of Time                   = -4 menit 51,75 detik

Semi diameter                        = 0^o 15’ 47,17”

True Geocentric Distance      = 1,013157643 AU